Auteur :  Gilbert Gastebois

 Disque d'Apollonius :

 Apollonius de Perge au III^ème siècle indique qu'il a trouvé une méthode pour tracer un cercle placé entre ou autour de trois disques de manière qu'il soit tangent à chacun.
Malheureusement le livre où il décrivait sa méthode est perdu. Les mathématiciens ont cherché à résoudre le problème sans succès jusqu'au XVII^ème siècle. Descartes pensa le résoudre facilement grâce aux coordonnées cartésiennes qu'il venait d'inventer.
En effet, il est très facile de poser trois équations à trois inconnues X,Y et R, les coordonnées de son centre et son rayon. Lorsqu'on les réduit pour obtenir une seule équation donnant R, on obtient une équation du second degré facile à résoudre.
On obtient : R = ( AB + DC - R₀ ± ((AB + DC -R₀)² - ( 1 - D² - B²)(R₀² - A² - C²))^1/2)(1 - D² - B²)
R > 0 donne le cercle interne et R < 0 le cercle externe de rayon |R[.
avec A = ( X₁² + R₀² - R₁² )/2/X₁                        B = (R₀ - R₁)/X₁
C = ( X₂² + Y₂² + R₀² - R₂² - 2*AX₂ )/2/Y₂         D = (R₀ - R₂ - X₂B)/Y₂
Il est ensuite très facile de trouver X et Y

Descartes chercha la solution pour le cas particulier où les trois disques se touchent deux à deux. C'est un calcul algébrique vraiment affreux. Il trouva pourtant une équation à la fois simple et élégante : (1/R + 1/R₀ + 1/R₁ + 1/R₂)² = 2(1/R² + 1/R₀² + 1/R₁² + 1/R₂²)
La solution est 1/R = 1/R₀ + 1/R₁ + 1/R₂ ± 2((R₀+R₁+R₂)/(R₀R₁R₂))^1/2

En changeant les signes de R₀ et/ou R₁ et/ou R₂, on obtient une extension des courbes d'Apollonius qui sont tangentes à l'intérieur d'un disque et à l'extérieur des autres ou l'inverse selon le signe de R.

Programme :
Choisissez les rayons des disques R₁ et R₂
Déplacez les disques R₁ ( horizontalement ) et R₂  en cliquant-glissant sur le disque.
On peut déplacer l'ensemble en cliquant-glissant sur le disque R₀.