Pendule élastique transverse           

1. Notations

                  

O                Position d'équilibre de la masse m
a0                Écart de chaque ressort par rapport à la masse m
L0                Longueur propre de chaque ressort.
k                  Raideur de chaque ressort
L                  Longueur de chaque ressort
Le                 Longueur de chaque ressort à l'équilibre
x0                 Valeur de x à l'équilibre
T1, T2          Tension des ressorts de valeur identique

df/dt est notée f '   et   d²f/dt² est notée f '' 

2. Étude du mouvement vertical.

2.1 Équilibre du système

T1 + T2 + m g = 0
On projette sur un axe vertical Ox pointant vers le bas
 m g - 2 k( Le - L0 ) sin θ  =  0
sin θ = x0 /Le
2 k ( Le - L0 )x0 /Le  =  mg
(1 - L0 /Le )x0  =  mg/(2k)
Le = (x02  + a02)1/2
(1 - L0 /(x02  + a02)1/2)x0  =  m g/(2k)
Cette équation n'est pas soluble algébriquement  ( On obtient une équation du 3ème degré )
Il faut la résoudre numériquement :

On peut la résoudre algébriquement si x0 est petit ( T >> mg donc a0>> L0 ), on peut alors faire un développement limité au premier ordre.
(1 - L0 / (x02  + a02)1/2)x0 = x0 -  L0 x0 /a0  (1 - x02  /(2a02)) = x0 (1- L0 /a0)
x0 (1- L0 /a0) =  m g/(2k) 
x0 (1- L0 /a0) =  m g/(2k) = m g (1 + L0 /a0)/(2k)
x0  =  m g (1 + L0 /a0)/(2k)
Le = (x02  + a02)1/2 = a0( 1 + x02/(2a02)) =  a0 (1 + (mg/(ka0))2/8)

2.2 Équation différentielle du mouvement

m a = T1 + T2 + m g
On projette sur un axe vertical Ox pointant vers le bas
m a = m x'' = - 2 k( L - L0 ) sin θ  +  m g
sin θ = (x0 + x )/L
x'' +  2 k/m  ( L - L0 )(x0 + x )/L  =  g
L = ((x0 + x )2  + a02)1/2
mg = 2k ((x02  + a02)1/2- L0 )x0/Le
 Le = (x02  + a02)1/2
x'' +  2 k/m  ( ((x0 + x )2  + a02)1/2 - L0 )(x0 + x )/L  =  g
x'' +  2 k/m  ( 1 - L0 / ((x0 + x )2  + a02)1/2))(x0 + x ) =  2k/m  (x0 -  L0x0/Le) 

Curieusement, cette équation n'a pas de solution analytique générale....

2.3  Solution pour les petits déplacements.

Si x reste petit on peut faire un développement limité au premier ordre.
1/(((x0 + x )2  + a02)1/2 = ((x02 + 2 x x0 ) + a02)1/2 ) = 1/(x02 + a02)1/2   (1 - x x0 /(x02 + a02))    donc 
(1 - L0 / ((x0 + x )2  + a02)1/2 ))(x0 + x )  = x0 + x - L0 /(x02 + a02)1/2  (x0 + x +  x x0 2/(x02 + a02)) = x0 + x - L0x0/Le  - L0 x/Le - L0x02 x/Le3
 x'' +  2 k/m  ( x0 + x - L0x0/Le  - L0 x/Le - L0 x02 x/Le3) =  2k/m  (x0 -  L0x0/Le)  donc
x'' +  2 k/m  (1 - L0 /Le - L0 x02 /Le3) x  =  0  

La solution de cette équation est x = Xm sin ( ω t  + φ)  avec ω 2 = 2 k/m  (1 - L0 /Le - L0 x02 /Le3)
T = 2π(m/(2 k (1 - L0 /Le - L0 x02 /Le3)))1/2

Si a0 << x0 , Le = x0   donc
T = 2π(m/(2 k))1/2      On retrouve bien la période d'un pendule élastique vertical suspendu entre deux ressorts identiques.

Si  x0 = 0    (  pendule horizontal tendu L0 < a0  et  Le = a0 )
T = 2π(m /(2 k (1 - L0 /a0 )))1/2

2.4  Solution pour les ressorts très tendus  (  L >> L0 ).

(1 - L0 /L)(x0 + x ) = x0 + x
x'' +  2 k/m  (x0 + x ) =  2k/m x0  donc
x'' +  2 k/m  x  =  0

La solution de cette équation est x = Xm sin ( ω t  + φ)  avec ω 2 = 2 k/m 
T = 2π(m /(2 k))1/2     On obtient la même période que celle d'un pendule élastique vertical suspendu entre deux ressorts identiques.
On retrouve le même résultat pour un pendule horizontal quand L0 << a0

3. Énergie du système

3.1 Expression de l'énergie mécanique

Em = Ec + Ep 
Em = 1/2 m v² - mg (x0 + x) + k(L - L0)²  
La masse a deux positions extrémales Xmin et Xmax pour lesquelles v = 0 donc 
Em = - mg(x0 + Xmax)  + k(((x0 + Xmax)2 + a02)1/2 - L0)² = - mg(x0 + Xmin) + k (((x0 + Xmin)2  + a02)1/2 - L0)²  

3.2 Franchissement du seuil

La masse ne peut franchir le seuil entre les ressorts que si Xmax est suffisant, sinon la masse reste toujours du même côté. Si le pendule est horizontal, il n'y a un seuil que si  L0 > a0
Le problème général, n'est pas soluble ( on obtient une équation du 4ème degré, ce qui n'est guère simple à résoudre ).
Il faut la résoudre numériquement :


On peut la résoudre algébriquement  dans le cas du pendule horizontal ( ou d'une masse nulle )
Dans ce cas, l'énergie potentielle de pesanteur est constante et on la prend nulle.
Em =  k(Lmax - L0)² 
Au seuil  Eseuil =  k(L0 - a0)² . Pour que le seuil soit franchi il faut Em >= Eseuil  donc
(Lmax - L0)² >= ( L0 - a0)²     ( Le seuil ne peut être franchi que si   Lmax > L0    et pour qu'il y ait un seuil, il faut que    L0 > a0  )  donc
Lmax - L0 >= L0 - a0    et    donc   Lmax >= 2 L0 - a0 
 Lmax = ((x0 + Xmax)2 + a02)1/2  donc  (x0 + Xmax)2 + a02   >= 4 L02 + a02 - 4 L0 a0   donc
 (x0 + Xmax)2  >= 4 L02 - 4 L0 a0       On pose Ymax = x0 + Xmax
donc Ymax >= 2(L0 (L0 - a0 ))1/2                     Ys = 2(L0 (L0 - a0 ))1/2                  Xm = 2(L0 (L0 - a0 ))1/2 - x0  
On retrouve bien la condition  L0 >= a0
Exemple : Si L0 = 2 a0, il faut écarter la masse de 2,828 a0    ( Le résultat est indépendant de la masse et de la raideur des ressorts )